已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程的两根，且a1=1．求证：数列是等比数列；求数列{an}的前n项和Sn；若b

题文

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程

的两根，且a₁=1．
（1）求证：数列

是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若b_n﹣mS_n＞0对任意的n∈N*都成立，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵a_n+a_n+1=2n，
∴a_n+1﹣

2ⁿ⁺¹=（2n﹣a_n）﹣

2ⁿ⁺¹
=﹣a_n+2n（1﹣

）=


∴

=﹣1，
∴{a_n﹣

2ⁿ}是等比数列，
又a₁﹣

=

，q=﹣1
∴a_n=

[2n﹣（﹣1）ⁿ]．
（2）S_n=a₁+a₂+…+a_n=

[（2+2²+…+2ⁿ）﹣（（﹣1）+（﹣1）²+…+（﹣1）ⁿ）]



（3）∵a_n，a_n+1是关于x的方程

的两根，
∴b_n=a_na_n+1，b_n=

[2ⁿ﹣（﹣1）ⁿ][2ⁿ⁺¹﹣（﹣1）ⁿ⁺¹]
=

[2ⁿ⁺¹﹣（﹣2）ⁿ﹣1]
∵b_n﹣ms_n＞0，
∴

，
当n为奇数时，

[2²ⁿ⁺¹+2ⁿ﹣1]﹣

（2ⁿ⁺¹﹣1）＞0，
∴m＜

（2n+1）对n∈{奇数}都成立，
∴m＜1．
当n为偶数时，

[2²ⁿ⁺¹﹣2ⁿ﹣1]﹣

（2ⁿ⁺¹﹣2）＞0，

[2²ⁿ⁺¹﹣2ⁿ﹣1]﹣

（2ⁿ﹣1）＞0，
∴m＜

（2ⁿ⁺¹+1）对n∈{偶数}都成立，
∴m＜

．
综上所述，m的取值范围为m＜1．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的相邻两项a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。