一个数列中的数均为奇数时，称之为“奇数数列”． 我们给定以下法则来构造一个奇数数列{an}，对于任意正整数n，当n为奇数时，an=n；当n为偶数时，

题文

一个数列中的数均为奇数时，称之为“奇数数列”． 我们给定以下法则来构造一个奇数数列{a_n}，对于任意正整数n，当n为奇数时，a_n=n；当n为偶数时，a_n=

．
（1）试写出该数列的前6项；
（2）研究发现，该数列中的每一个奇数都会重复出现，那么第10个5是该数列的第几项？
（3）求该数列的前2ⁿ项的和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）根据题意可知


由此得：该数列的前6 项分别为1，1，3，1，5，3．
（2）这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…
仔细观察发现a₅=5，a₁₀=5，a₂₀=5，a₄₀=5…
即项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列．
所以第10个5是该数列的第5×2^10﹣1=2560项．
第10个5是该数列的第2560项．
（3）由题意可得 T_n =[1+3+5+7+…+（2ⁿ﹣1）]+（a₂ +a₄ +a₆+…+

）
=[1+3+5+7+…+（2ⁿ﹣1）]+（a₁+a₂+a₃+…+

）
=[1+3+5+7+…+（2ⁿ﹣1）]+[1+3+5+7+…+（

﹣1）]+（a₂ +a₄ +a₆+…+

） …
=[1+3+5+7+…+（2ⁿ﹣1）]+[1+3+5+7+…+（2^n﹣1﹣1）]+[1+3+5+7+…+（2^n﹣2﹣1）]+…+[1+3]+[2﹣1]+1．
由于1+3+5+7+…+（2ⁿ﹣1）=

=（2 ^n﹣1）²=4 ^n﹣1，
T_n =4^n﹣1+4^n﹣2+4^n﹣3+…+4¹+4⁰+1=

+1=

．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“一个数列中的数均为奇数时，称.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。