已知数列 {an}的前n项和Sn=2n2-3n证明数列{an}是等差数列．若bn=an·2n，求数列{bn}的前n项和Tn．

题文

已知数列 {a_n}的前n项和S_n=2n²-3n
（1）证明数列{a_n}是等差数列．
（2）若b_n=a_n^·2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）a₁=S₁=-1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n﹣1=2n²-3n-2（n-1）²+3（n-1）=4n-5
又a₁适合上式  a_n=4n﹣5（n∈N*）
当n≥2时，a_n﹣a_n﹣1=4n-5-4（n-1）+5=4
{a_n}是等差数列且d=4，a₁=-1
（2）b_n=（4n﹣5）2ⁿ（差比数列求和）
∴S_n=﹣2¹+3·2²+…（4n﹣5）·2ⁿ①
2S_n=﹣2²+…+（4n﹣9）·2ⁿ+（4n﹣5）·2ⁿ⁺¹②
①﹣②得﹣S_n=﹣2¹+4·2²+…+4·2ⁿ﹣（4n﹣5）·2ⁿ⁺¹
=


=﹣18﹣（4n﹣9）·2ⁿ⁺¹
∴S_n=18+（4n﹣9）·2ⁿ⁺¹

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列 {an}的前n项和Sn=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。