在数列{an}中，a1=1，a n+1=2an+2n．设bn=．证明：数列{bn}是等差数列；求数列{an}的前n项和Sn

题文

（附加题）
在数列{a_n}中，a₁=1，a _n+1=2a_n+2ⁿ．
（1）设b_n=

．证明：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

题型：未知 难度：其他题型

答案

解：由a _n+1=2a_n+2ⁿ．
两边同除以2ⁿ得



∴

，
即b _n+1﹣b_n=1
b_n以1为首项，1为公差的等差数列
（2）由（1）得


∴a_n=n

2 ^n﹣1
S_n=2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2 ^n﹣1
2S_n=2¹+2×2²+…+（n﹣1）2 ^n﹣1+n×2ⁿ
∴﹣S_n=2⁰+2¹+2²+…+2 ^n﹣1﹣n

2ⁿ
               =


∴S_n=（n﹣1）

2ⁿ+1

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“（附加题）在数列{an}.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。