已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2，a1=1．设bn=an+1﹣2an，求证{bn}是等比数列设，求证{Cn}是

题文

已知数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，并且S_n+1=4a_n+2，a₁=1．
（1）设b_n=a_n+1﹣2a_n，求证{b_n}是等比数列
（2）设

，求证{C_n}是等差数列
（3）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）S_n+1=S_n+a_n+1=4a_n﹣1+2+a_n+1
∴4a_n+2=4a_n﹣1+2+a_n+1
∴a_n+1﹣2a_n=2（a_n﹣2a_n﹣1）
即：

且b₁=a₂﹣2a₁=3
∴{b_n}是等比数列
（2）{b_n}的通项b_n=b_1·q^n﹣1=3·2^n﹣1
∴


又

∴{C_n}为等差数列
（3）∵C_n=C₁+（n﹣1）·d
∴


∴a_n=（3n﹣1）·2^n﹣2（n∈N*）
S_n+1=4·a_n+2=4×（3n﹣1）×2^n﹣2+2=（3n﹣1）×2ⁿ+2
∴S_n=（3n﹣4）2^n﹣1+2（n∈N*）

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，Sn是它的前n.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。