设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，2是an+2 和an的等比中项．证明数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通

题文

设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N*，2

是a_n+2 和a_n的等比中项．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明

+

+…+

＜1；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m 的一切正整数n，不等式2S_n﹣4200＞

恒成立，求这样的正整数m共有多少个？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）由已知，4 

，且a_n＞0． 
当n=1时，4

 +2a₁，解得a₁=2．  
当n≥2时，有4S_n﹣1= 

．
于是4S_n﹣4S_n﹣1=

 ，
即4 

．
于是 

，即（a_n+a_n﹣1）（a_n﹣a_n﹣1）=2（a_n+a_n﹣1）．
因为a_n+a_n﹣1＞0，所以a_n﹣a_n﹣1=2，n≥2．
故数列{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列，且a_n=2n．
（Ⅱ）证明：因为a_n=2n，则

 ，
所以 

=（1﹣ 

）+（

 ）+…+（ 

） =1﹣

 ．
（Ⅲ）由 

，得2n（n+1）﹣4200＞2n²，所以n＞2100．  
由题设，M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．
因为m∈M，所以m=2100，2102，…，2998均满足条件．
且这些数组成首项为2100，公差为2的等差数列．
设这个等差数列共有k项，则2100+2（k﹣1）=2998，解得k=450．
故集合M中满足条件的正整数m共有450个．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的各项都为正数，其前.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。