已知f是定义在R上的函数，f=1，且x1，x2∈R，总有f=f+f+1恒成立．求证：f+1是奇函数；

题文

已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且

x₁，x_2^∈R，总有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1恒成立．
（Ⅰ）求证：f（x）+1是奇函数；
（Ⅱ）对

n∈N*，有

，

，求：S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1及

；
（Ⅲ）求F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n（n≥2，n∈N）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

  解：（1）证明：f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，
令x₁=x₂=0得f（0）=﹣1，
再令x₁=x，x₂=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1
∴f（﹣x）+1=﹣[f（x）+1]，函数f（x）+1是奇函数．
（2）令x₁=n，x₂=1得f（n+1）=f（n）+2，
所以f（n）=2n﹣1，

，

，
∴




又

，

①

②
由①﹣②得出


=


计算整理得出得

（3）∵


∴F（n+1）＞F（n）．
又n≥2，
∴F（n）的最小值为

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）是定义在R上的函数，f.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。