已知数列{bn}的前n项和=n2﹣n．数列{}满足3=4﹣，n∈N*，数列{cn}满足cn=bn．求数列{cn}的前n项和Tn；（2

题文

已知数列{b_n}的前n项和

=

n²﹣

n．数列{

}满足（

）³=4^{﹣（bn+2）}，n∈N*，数列{c_n}满足c_n=

b_n．
（1）求数列{c_n}的前n项和T_n；
（2）若c_n≤

m²+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由已知得，
当n≥2时，b_n=

﹣

_﹣1=（

n²﹣

n）﹣[

（n﹣1）²﹣

（n﹣1）]=3n﹣2
又b₁=1=3×1﹣2，符合上式，
故数列{b_n}的通项公式为b_n=3n﹣2．
∵数列{

}满足（

）³=4^{﹣（bn+2）}
∴（

）³=4^﹣3n，
∴

=4^﹣n，
∴c_n=

b_n=（3n﹣2）×4^﹣n，
∴T_n=1×4^﹣1+4×4^﹣2+…+（3n﹣2）×4^﹣n，①
∴

T_n=1×4^﹣2+4×4^﹣3+…+（3n﹣2）×4^﹣n﹣1，②
①﹣②得

T_n=4^﹣1+3[4^﹣2+4^﹣3+…+4^﹣n]﹣（3n﹣2）×4^﹣n﹣1=

﹣（3n﹣2）×4^﹣n﹣1，
∴T_n=

﹣

×4^﹣n；                                  
（2）∵c_n=

b_n=（3n﹣2）×4^﹣n，
∴c_n+1﹣c_n=（3n+1）×4^﹣n﹣1﹣（3n﹣2）×4^﹣n=﹣9（n﹣1）×4^﹣n﹣1，
当n=1时，c_n+1=c_n；
当n≥2时，c_n+1＜c_n，
∴（c_n）_max=c₁=c₂=


若c_n≤

m²+m﹣1对一切正整数n恒成立，则

m²+m﹣1≥

即可，
∴m²+4m﹣5≥0，
∴m≤﹣5或m≥1．        

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{bn}的前n项和=n2﹣.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。