设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2-(12)n-1，n∈N．求数列{an}的通项公式；设数列bn=an．求数列{bn}的

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=2-(12)n-1，n∈N．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列b_n=（2n-15）a_n．
（i）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（ii）求b_n的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由已知，可得
①当n≥2时，a_n=Sn-Sn-1=2-(12)n-1-[2-(12)n-2]=(12)n-1           …（2分）
②当n=1时，a₁=S₁=1，也符合上式．…（3分）
综上所述，可得对任意的n∈N^*，{a_n}的通项公式是a_n=（12）^n-1          …（4分）
（Ⅱ）由（I）得b_n=（2n-15）a_n=（2n-15）（12）^n-1
（i）T_n=-13+（-11）•12+（-9）•（12）²+…+（2n-15）（12）^n-1
两边都乘以12，得12T_n=-13•12+（-11）•（12）²+（-9）•（12）³+…+（2n-15）（12）ⁿ  …（6分）
两式相减，得12T_n=-13+2[12+（12）²+…+（12）^n-1]-（2n-15）（12）ⁿ …（8分）
即12T_n=-13+1-12n-11-12-（2n-15）（12）ⁿ=-11+（11-2n）•12n
∴T_n=-22+（11-2n）•12n-1      …（10分）
（ii）∵b_n+1-b_n=（2n-13）（12）ⁿ-（2n-15）（12）^n-1=（-2n+17）（12）ⁿ…（11分）
∴当n＜172时，得b_n+1-b_n＞0，且当n＞172时b_n+1-b_n＜0        …（12分）
由此可得：b₁＜b₂＜b₃…＜b₈＜b₉，且b₉＞b₁₀＞…，
∴b₉是{b_n}各项中最大值…（13分）
又∵b₉=3a₉=3×128=3256．
因此，b_n的最大值为3256        …（14分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。