过点P作曲线C：y=xk，k∈N*，k＞1）的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1；又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，

题文

过点P（1，0）作曲线C：y=x^k（x∈（0，+∞），k∈N^*，k＞1）的切线，切点为M₁，设M₁在x轴上的投影是点P₁；又过点P₁作曲线C的切线，切点为M₂，设M₂在x轴上的投影是点P₂；…；依此下去，得到一系列点M₁，M₂，…M_n，…；设它们的横坐标a₁，a₂，…，
a_n…构成数列为{a_n}．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：an≥1+nk-1；
（Ⅲ）当k=2时，令bn=nan，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）对y=x^k求导数，
得y′=kx^k-1，
点是M_n（a_n，a_n^k）的切线方程是y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．…（2分）
当n=1时，切线过点P（1，0），
即0-a₁^k=ka₁^k-1（1-a₁），
得a1=kk-1；
当n＞1时，切线过点P_n-1（a_n-1，0），
即0-a_n^k=ka_n^k-1（a_n-1-a_n），
得anan-1=kk-1．
所以数列{a_n}是首项a1=kk-1，公比为kk-1的等比数列，
所以数列{a_n}的通项公式为an=(kk-1)n，n∈N*．…（4分）
（ II）应用二项式定理，得an=(kk-1)n=(1+1k-1)n=C0n+C1n1k-1+C2n(1k-1)2+…+Cnn(1k-1)n≥1+nk-1．…（8分）
（ III）当k=2时，a_n=2ⁿ，
数列{b_n}的前n项和S_n=12+222+323+…+n2n，
同乘以12，得12Sn=122+223+324+…+n2n+1，
两式相减，…（10分）
得12Sn=12+122+123+…+12n-n2n+1=12(1-12n)1-12-n2n+1=1-12n-n2n+1，
所以S_n=2-n+22n．…（12分）

解析

kk-1

考点

据考高分专家说，试题“过点P（1，0）作曲线C：y=xk（x∈.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。