已知等差数列{an}的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，公比q=2，且a2b2=20，a3b3=56，求an与bn求数列{

题文

已知等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}为等比数列，公比q=2，且a₂b₂=20，a₃b₃=56，
（1）求a_n与b_n
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n
（3）记C_n=1Sn-n，若C₁+C₂+C₃+…+C_n≥m²-32对任意正整数n恒成立，求实数m 的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设{a_n}的公差为d，则
(3+d)•2b1=20(3+2d)•4b1=56，解之得b₁=d=2
∴数列{a_n}的通项为a_n=3+2（n-1）=2n+1；数列{b_n}的通项为b_n=2ⁿ
（2）由（1）得a_nb_n=（2n+1）2ⁿ
∴T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n+1）2ⁿ
两边都乘以2，得2T_n=3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n+1）2ⁿ⁺¹，
两式相减，得
-T_n=6+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）2ⁿ⁺¹，
=6+8(1-2n-1)1-2-（2n+1）2ⁿ⁺¹=-2+（1-2n）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n+1）2ⁿ⁺¹+2
（3）S_n=3n+n(n-1)2×2=n²+2n
∴C_n=1Sn-n=1n2+n=1n-1n+1
由此可得C₁+C₂+C₃+…+C_n=（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）=1-1n+1
因此，当n=1时，C₁+C₂+C₃+…+C_n的最小值为12
∵不等式C₁+C₂+C₃+…+C_n≥m²-32对任意正整数n恒成立，
∴12≥m²-32，解之得-2≤m≤2，即实数m的取值范围是[-2，2]．

解析

(3+d)•2b1=20(3+2d)•4b1=56

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的各项均为正数，a1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。