已知数列{an}的前n项为和Sn，点(n，Snn)在直线y=12x+112上．数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0，且b3=11，前9项和

题文

已知数列{a_n}的前n项为和S_n，点(n，Snn)在直线y=12x+112上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9项和为153．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=3(2an-11)(2bn-1)，数列{c_n}的前n和为T_n，求使不等式Tn＞k57对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．
（Ⅲ）设f(n)=an(n=2l-1，l∈N*)bn(n=2，l∈N*).是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意，得Snn=12n+112，即Sn=12n2+112n.
故当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(12n2+112n)-[12(n-1)2+112(n-1)]=n+5.
注意到n=1时，a₁=S₁=6，而当n=1时，n+5=6，
所以，a_n=n+5（n∈N^*）．
又b_n+2-2b_n+1+b_n=0，即b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N^*），
所以{b_n}为等差数列
于是9(b3+b7)2=153.
而b3=11，故b7=23，d=23-117-3=3.
因此，b_n=b₃+3（n-3）=3n+2，即b_n=3n+2（n∈N^*）．
（Ⅱ）cn=3(2an-11)(2bn-1)=3[2(n+5)-11][2(3n+2)-1]=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1).
所以，Tn=c1+c2++cn=12[(1-13)+(13-15)+(15-17)++(12n-1-12n+1)]=12(1-12n+1)=n2n+1.
由于Tn+1-Tn=n+12n+3-n2n+1=1(2n+3)(2n+1)＞0，
因此T_n单调递增，故(Tn)min=13.
令13＞k57，得k＜19，所以Kmax=18.
（Ⅲ）f(n)=n+5(n=2l-1，l∈N*)3n+2(n=2l，l∈N*).
①当m为奇数时，m+15为偶数．
此时f（m+15）=3（m+15）+2=3m+47，5f（m）=5（m+5）=5m+25，
所以3m+47=5m+25，m=11．
②当m为偶数时，m+15为奇数．
此时f（m+15）=m+15+5=m+20，5f（m）=5（3m+2）=15m+10，
所以m+20=15m+10，m=57∉N*（舍去）．
综上，存在唯一正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．

解析

Snn

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项为和Sn，点(n.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。