已知a1，a2，…，a8是首项为1，公比为2的等比数列，对于1≤k＜8的整数k，数列b1，b2，…，b8由bn=an+k，1≤n≤8-kan+k-8，8-k＜n

题文

已知a₁，a₂，…，a₈是首项为1，公比为2的等比数列，对于1≤k＜8的整数k，数列b₁，b₂，…，b₈由b_n=an+k，1≤n≤8-kan+k-8， 8-k＜n≤8确定．记C=8



n=1anbn．
（I）求k=3时C的值（求出具体的数值）；
（Ⅱ）求C最小时k的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）显然an=2n-1(1≤n≤8)．
∴k=3，∴bn=an+3，1≤n≤5an-5，5＜n≤8.
∴C=8











n=1anbn=5











n=1anan+3+8











n=6anan-5=5











n=122n+1+8











n=622n-6
=（2³+2⁵+2⁷+2⁹+2¹¹）+（2⁵+2⁷+2⁹）
=3400．
（II）∵bn=an+k，1≤n≤8-kan+k-8，8-k＜n≤8.
∴C=8











n=1anbn=8-k











n=1anan+k+8











n=0-kanan+k-8=8-k











n=122n+k-2+8











n=9-k22n+k-10，
=2k(48-k-1)4-1+28-k(4k-1)4-1=13(216-k-2k+28+k-28-k)
=13(212-24)(24-k+2k-4)≥23(212-24)24-k•2k-4=2720．
∴当且仅当2^4-k=2^k-4时，C的值最小，此时解得k=4．

解析

an+3，1≤n≤5an-5，5＜n≤8.

考点

据考高分专家说，试题“已知a1，a2，…，a8是首项为1，公比.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。