已知数列{an}的前n项和为Sn=2n2+4n+1，数列{bn}的首项b1=2，且点在直线y=2x上．求数列{an}，{bn}的通项公式

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²+4n+1，数列{b_n}的首项b₁=2，且点（b_n，b_n+1）在直线y=2x上．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由Sn=2n2+4n+1得Sn-1=2(n-1)2+4(n-1)+1，--------（1分）
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+4n+1-2(n-1)2-4(n-1)-1=4n+2(n≥2)---------（2分）
当n=1时，代入已知可得a₁=7，-----------------------------（3分）
综上an=4n+2(n≥2)7(n=1)．--------------------------（4分）
∵点（b_n，b_n+1）在直线y=2x上，∴b_n+1=2b_n，又b₁=2，------------------（5分）
∴{b_n}是以2为首项2为公比的等比数列，∴bn=2n．------------------（7分）
（2）由（1）知，当n=1时，c₁=a₁•b₁=14；--------------（8分）
当n≥2时，cn=an•bn=(4n+2)•2n=(2n+1)•2n+1，---------------（9分）
所以当n=1时，T₁=c₁=14；
当n≥2时，Tn=c1+c2+c3+…+cn=14+5×23+…+(2n-1)•2n+(2n+1)•2n+1①
则2Tn=28+5×24+…+(2n-1)•2n+1+(2n+1)•2n+2②----------（10分）
②-①得：Tn=14-5×23-25-26-…-2n+2+(2n+1)•2n+2-------------（12分）
即Tn=14-5×23-25(2n-2-1)2-1+(2n+1)•2n+2=(2n-1)•2n+2+6，---------------（13分）
显然，当n=1时，T1=(2×1-1)•21+2+6=14，
所以Tn=(2n-1)•2n+2+6．----------------（14分）

解析

4n+2(n≥2)7(n=1)

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn=2n2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。