已知数列{an}，{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=•2n+1．若数列{bn}是首项

题文

已知数列{a_n}，{b_n}中，对任何正整数n都有：a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ+1．
（1）若数列{b_n}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是否为等比数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由；   
（3）求证：n



i=11aibi＜32． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ+1．
所以a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2^n-1+1．
两式相减 a_nb_n=（2n-2-n+2）•2^（n-1）₌n•2^（n-1）
因为{b_n} 数列是首项为1，公比为2的等比数列则bn=2^（n-1）
所以a_n=n （2）{an}是等差数列 a_nb_n=（2n-2-n+2）•2^（n-1）₌n•2^（n-1）
所以 a_n=n•2n-1bn，
an-1=(n-1)•2n-2bn-1，
an-2=(n-2)•2n-3bn-2，
{an}是等差数列 2a_（n-1）=a_（n-2）+a_n 即）2(n-1)•2n-2bn-1= (n-2)•2n-3bn-2+n•2n-1bn
4(n-1)bn-1=(n-2)bn-2+4nbn
若{bn}是等比数列，
则b_（n-1） ²=b_（n-2）•b_n 两式显然不合
所以数列{b_n}不是等比数列
（3）aibi=i•2^（i-1） 所以1aibi=1i•2i-1
所以n



i=11aibi=11×20+12×2+13×23+…+1n•2n-1
＜1+14+123+…+12n-1
=1+14-12n1-12
=32-12n-1＜32得证．

解析

n•2n-1bn

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}，{bn}中，对任何正整.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。