已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=32，2Sn+1=3Sn+2．证明数列{an}为等比数列，并求出通项公式；设数列{bn}的通项b

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=32，2S_n+1=3S_n+2（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n}为等比数列，并求出通项公式；
（2）设数列{b_n}的通项b_n=1an，求数列{b_n}的前n项的和T_n；
（3）求满足不等式3T_n＞S_n（n∈N₊）的n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由2S_n+1=3S_n+2得到，2S_n=3S_n-1+2（n≥2）
则2a_n+1=3a_n（n≥2），
又a₂=32，2S₂=3S₁+2，∴a1=1，a2a1=32
则an+1an=32(n∈N*)
故数列{a_n}为等比数列，且an=(32)n-1
（2）由（1）知，an=(32)n-1，又由数列{b_n}的通项b_n=1an，则bn=(23)n-1
故Tn=1-(23)n1-23=3[1-(23)n]
（3）由（1）知，an=(32)n-1，则Sn=1-(32)n1-32=2[(32)n-1]
由（2）知，Tn=3[1-(23)n]
则3T_n＞S_n（n∈N₊）⇔9[1-(23)n]＞2[(32)n-1]，
令t=(32)n（t＞1），则9(1-1t)＞2(t-1)，
解得 1＜t＜92，即1＜(32)n＜92
又由f(x)=(32)x在R上为增函数，(32)3=92×34，(32)4=92×98，
故n=1，2，3

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。