数列{an}的前n项和为Sn，Sn+an=-12n2-32n+1设bn=an+n，证明：数列{bn}是等比数列；求数列{nbn}的前n项

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n+a_n=-12n2-32n+1（n∈N^*）
（Ⅰ）设b_n=a_n+n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{nb_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若cn=(12)n-an，d_n=1+1cn2+1cn+12，P=d₁+d₂+d₃+…+d₂₀₁₃，求不超过P的最大整数的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ） 因为S_n+a_n=-12n2-32n+1（n∈N^*）
所以   ①当n=1时，2a₁=-1，则a₁=12，…．（1分）
②当n≥2时，S_n-1+a_n-1=-12(n-1)2-32(n-1)+1
，…．（2分）
所以2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a _n-1+n-1，
所以b_n=12b _n-1（n≥2），而b₁=a₁+1=12，…．（3分）
所以数列数列{b_n}是首项为12，公比为12的等比数列，所以b_n=（12）ⁿ
（Ⅱ）  由（Ⅰ）得nb_n=n2n．
所以  ①Tn=12+222+323+424+…+n-12n-1+n2n
②2Tn=1+22 +322+423+…+n-12n-2+n2n-1…．（6分）
②-①得：Tn=1+12+122+…+12n-1-n2n…．（7分）Tn=1-(12)n1-12-n2n=2-n+22n…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知a n=(12)n-n∴c_n=n…（9分）
而d_n=1+1n2+1(n+1)2=n2(n+1)2+(n+1)2+n2n2(n+1)2=n(n+1)+1n(n+1)=1+1n(n+1)=1+1n-1n+1
…（11分）
所以P=(1+11-12)+(1+12-13)+(1+13-14)+…+(1+12013-12014)=2014-12014，
故不超过P的最大整数为2013．…..（14分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn，Sn+an.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。