已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=12(1-an)．求数列{an}的通项公式；求证：Sn＜12；设函数f=log13x，

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足S_n=12(1-an)．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：S_n＜12；
（Ⅲ）设函数f（x）=log13x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求n



i=11bi． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当n≥2时，an=12(1-an)-12(1-an-1)=-12an+12an-1，
∴2a_n=-a_n+a_n-1
∴anan-1=13，----------------------------------（4分）
由S1=a1=12(1-a1)得a1=13
∴数列{a_n}是首项a1=13、公比为13的等比数列，
∴an=13×(13)n-1=(13)n------（6分）
（Ⅱ）证明：由Sn=12(1-an)得Sn=12[1-(13)n]---------------------------------（8分）
∵1-(13)n＜1，∴12[1-(13)n]＜12
∴Sn＜12---------------------------------------------------------（10分）
（Ⅲ）∵f(x)=log13x，
∴bn=log13a1+log13a2+…+log13an=log13(a1a2…an)
=log13(13)1+2+…+n=1+2+…+n=n(1+n)2-------------------（12分）
∴1bn=2n(1+n)=2(1n-1n+1)
∴n



i=11bi=1b1+1b2+…+1bn=2[(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)]=2nn+1--------（14分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn和通项an.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。