等比数列{an}为递增数列，且a4=23，a3+a5=209，数列bn=log3an2．求数列{bn}的前n项和Sn；Tn=b1+b2+

题文

等比数列{a_n}为递增数列，且a4=23，a3+a5=209，数列bn=log3an2（n∈N^*）．
（1）求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）Tn=b1+b2+b22+…+b2n-1，求使T_n＞0成立的最小值n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵{a_n}是等比数列，a4=23，a3+a5=209，
∴a1q3=23a1q2+a1q4=209，两式相除得：q1+q2=310
∴q=3或q=13，
∵{a_n}为递增数列，∴q=3，a1=281-------（4分）
∴an=a1qn-1=281•3n-1=2•3n-5--------（6分）
∴bn=log3an2=n-5，数列{b_n}的前n项和Sn=n(-4+n-5)2=12(n2-9n)---（8分）
（2）Tn=b1+b2+b22+…b2n-1=（1-5）+（2-5）+（2²-5）+…（2^n-1-5）=1-2n1-2-5n＞0
即：2ⁿ＞5n+1-------（12分）
∵2⁴＜5×4+1，2⁵＞5×4+1
∴n_min=5--------（14分）

解析

23

考点

据考高分专家说，试题“等比数列{an}为递增数列，且a4=23.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。