设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=(-1)nan-12n，n∈N*，则a3=______；S1+S2+…+S100=______．

题文

设S_n为数列{a_n}的前n项和，Sn=(-1)nan-12n，n∈N^*，则
（1）a₃=______；
（2）S₁+S₂+…+S₁₀₀=______．题型：未知难度：其他题型

答案

由Sn=(-1)nan-12n，n∈N^*，
当n=1时，有a1=(-1)1a1-12，得a1=-14．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(-1)nan-12n-(-1)n-1an-1+12n-1．
即an=(-1)nan+(-1)nan-1+12n．
若n为偶数，则an-1=-12n(n≥2)．
所以an=-12n+1（n为正奇数）；
若n为奇数，则an-1=-2an+12n=(-2)•(-12n+1)+12n=12n-1．
所以an=12n（n为正偶数）．
所以（1）a3=-124=-116．
故答案为-116；
（2）因为an=-12n+1（n为正奇数），所以-a1=-(-122)=122，
又an=12n（n为正偶数），所以a2=122．
则-a1+a2=2×122．
-a3=-(-124)=124，a4=124．
则-a3+a4=2×124．
…
-a99+a100=2×12100．
所以，S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₉₉+S₁₀₀
=(-a1+a2)+(-a3+a4)+…+(-a99+a100)-(12+122+…+12100)
=2(14+116+…+12100)-(12+122+…+12100)
=2•14(1-1450)1-14-12(1-12100)1-12
=13(12100-1)．
故答案为13(12100-1)．

解析

12n

考点

据考高分专家说，试题“设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=(.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如
$设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=(-1)nan-12n，n∈N*，则a3=______；S1+S2+…+S100=______．$
的形式，可以把
$设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=(-1)nan-12n，n∈N*，则a3=______；S1+S2+…+S100=______．$
表示为
$设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=(-1)nan-12n，n∈N*，则a3=______；S1+S2+…+S100=______．$
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
$设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=(-1)nan-12n，n∈N*，则a3=______；S1+S2+…+S100=______．$
的数列，其中
$设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=(-1)nan-12n，n∈N*，则a3=______；S1+S2+…+S100=______．$
为等差数列，
$设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=(-1)nan-12n，n∈N*，则a3=______；S1+S2+…+S100=______．$
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：

$设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=(-1)nan-12n，n∈N*，则a3=______；S1+S2+…+S100=______．$

数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。