已知集合{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中最大的数与

题文

已知集合{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中最大的数与后一个集合中最小的数是连续奇数．
（I）求第n个集合中最小的数a_n的表达式；
（Ⅱ）设b_n=an-1n，求数列{bn2bn}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（ I）设第n个集合中最小的数为a_n，则第n-1个集合中最小的数为a_n-1．
又第n-1个集合中共有n-1个数，且依次增加2，
∴a_n-1+2（n-1）=a_n，即a_n-a_n-1=2（n-1）（n≥2）…4分
∴a_n-1-a_n-2=2（n-2），
a_n-2-a_n-3=2（n-3）…
a₂-a₁=2．
以上各式相加得a_n-a₁=2×(n-1)(1+n-1)2=n²-n，
又a₁=1，
∴a_n=n²-n+1（n≥2）…6分
验证n=1时a₁适合上式
∴a_n=n²-n+1…7分
（ II）∵a_n=n²-n+1，
∴b_n=an-1n=n2-n+1-1n=n-1…8分
∴T_n=020+121+222+…+n-12n-1=121+222+…+n-12n-1①
又12T_n=122+223+324+…+n-22n-1+n-12n②
①-②得，12T_n=121+122+123+…+12n-1-n-12n
∴T_n=2×12(1-12n-1)1-12-n-12n-1=2-12n-2-n-12n-1
即T_n=2-12n-2-n-12n-1…12分

解析

(n-1)(1+n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知集合{1}，{3，5}，{7，9，1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。