把正整数按“S”型排成了如图所示的三角形数表，第n行有n个数，设第n行左侧第一个数为an，如a5=15，则该数列{an}的前n项和Tn为A．

题文

把正整数按“S”型排成了如图所示的三角形数表，第n行有n个数，设第n行左侧第一个数为a_n，如a₅=15，则该数列{a_n}的前n项和T_n（n为偶数）为（ ）A．Tn=n(n+1)(2n+1)10B．Tn=n36+n24+n3C．Tn=n36+n24-n6D．Tn=n(n+1)(n+2)6

题型：未知 难度：其他题型

答案

方法一：（特值法）因为T₂=a₁+a₂=3，把n=2代入选项，排除C、D，再代入n=4，因为T₄=16，B选项满足，故选B．
方法二：因为当n为奇数时，an=1+2+…+n=n(n+1)2，当n为偶数时，a_n=a_n-1+1，
故n是偶数时，T_n=a₁+（a₁+1）+a₃+（a₃+1）+…+a_n-1+（a_n-1+1）
=2a₁+1+2a₃+1+…+2a_n-1+1
=2(a1+a3+…+an-1)+n2
=1×2+3×4+…+(n-1)n+n2
=（1²+1）+（3²+3）+…+[（n-1）²+（n-1）]+n2
=[1²+3²+5²+…+（n-1）²]+[1+3+…+（n-1）]+n2
令S=1²+2²+…+（n-1）²+n²，A=1²+3²+5²+…+（n-1）²，B=2²+4²+6²+…+n²，
A-B=1²-2²+3²-4²+5²-6²+…+（n-1）²-n²=-1-2-3-4-…-（n-1）-n=-n(n+1)2，
又A+B=n(n+1)(2n+1)6，得A=n(n+1)(2n+1)6-n(n+1)22=n(n+1)(n-1)6
则 T_n=n(n+1)(n-1)6+(1+n-1)•n22+n2=n(n2-1)6+n24+n2=n36+n24+n3．
故选B．

解析

n(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“把正整数按“S”型排成了如图所示的三角形.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。