设数列{an}满足：a1+2a2+3a3+…+nan=2n．求数列{an}的通项公式；设bn=n2an，求数列{bn}的前n项和Sn．

题文

设数列{a_n}满足：a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=2ⁿ（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=n²a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=2ⁿ①，
∴n≥2时，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=2^n-1②
①-②得na_n=2^n-1，a_n=2n-1n（n≥2），在①中令n=1得a₁=2，
∴a_n=2(n=1)2n-1n(n≥2)
（2）∵b_n=2(n=1)n•2n-1(n≥2)．
则当n=1时，S₁=2
∴当n≥2时，S_n=2+2×2+3×2²+…+n×2^n-1
则2S_n=4+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
相减得S_n=n•2ⁿ-（2+2²+2³+…+2^n-1）=（n-1）2ⁿ+2（n≥2）
又S₁=2，符合S_n的形式，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+2（n∈N^*）

解析

2n-1n

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}满足：a1+2a2+3a3.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。