已知数列{an}的通项公式为an=|n-13|，那么满足ak+ak+1+…+ak+19=102的正整数k=______．

题文

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=|n-13|，那么满足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102的正整数k=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵a_n=|n-13|，∴a_n=13-n    n≤13n-13    n＞13，
∴当n≤13时，{a_n}的前n项和为S_n=25n-n22，
当n＞13时，{a_n}的前n项和为S_n=12(n2-25n+312)
满足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102，即a_k+a_k+1+…+a_k+19=S_k+19-S_k-1=102，k是正整数
而S_k+19=12[(k+19)2-25(k+19)+312]=12（k²+13k+198）
①当k-1≤13时，S_k-1=-12k²+k-13，
所以S_k+19-S_k-1=12（k²+13k+198）-（-12k²+272k-13）=102，解之得k=2或k=5
②当k-1＞13时，S_k-1=12[(k-1)2-25(k-1)+312]=12（k²-27k+338）
所以S_k+19-S_k-1=12（k²+13k+198）-12（k²-27k+338）=102，解之得k不是整数，舍去
综上所述，满足条件的k=2或5
故答案为：2或5

解析

13-n    n≤13n-13    n＞13

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的通项公式为an=|n-.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。