设数列{an}是等比数列，a1=C2m+33m•Am-21，公比q是(x+14x2)4的展开式中的第二项．用n，x表示通项an与前n项和

题文

设数列{a_n}是等比数列，a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹，公比q是(x+14x2)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）用n，x表示通项a_n与前n项和S_n；
（2）若A_n=C_n¹S₁+C_n²S₂+…+C_nⁿS_n，用n，x表示A_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹∴2m+3≥3mm-2≥1∴m=3，…（2分）
由(x+14x2)4的展开式中的同项公式知T2=C14x4-1(14x2)=x，
∴a_n=x^n-1
∴由等比数列的求和公式得：Sn=n，x=11-xn1-x，x≠1…（4分）
（2）当x=1时，S_n=n，
所以：A_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=0C_n⁰+1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
又∵A_n=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+（n-2）C_n^n-2+…+C_n¹+0C_n⁰，
∴上两式相加得：2A_n=n（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=n•2ⁿ，
∴A_n=n•2^n-1，
当x≠1时，Sn=1-xn1-x，
所以有：An=1-x1-xCn1+1-x21-xCn2+…+1-xn1-xCnn
=11-x[(C1n+C2n+…+Cnn)-(xC1n+x2C2n+…+xnCnn)]
=11-x[2n-(1+x)n]，
∴An=n•2n-1，x=12n-(1+x)n1-x，x≠1…（10分）

解析

2m+3≥3mm-2≥1

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}是等比数列，a1=C2m+.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。