已知各项均为正数的数列{an} 满足a2n+1=2a2n+anan+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．求数列{an} 的通项公式；令cn=

题文

已知各项均为正数的数列{a_n} 满足a2n+1=2a2n+anan+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）令cn=1+nan，记数列{a_n} 的前n项积为T_n，其中n∈N^* 试比较T_n 与9的大小，并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
又a_n＞0，所以有2a_n-a_n+1=0，所以2a_n=a_n+1，所以数列{a_n}是公比为2的等比数列．
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2，故a_n=2ⁿ（n∈N^*）
（2）构造函数f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），则f′(x)=-x1+x
当x＞0时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）上单调递减
∴f（x）＜f（0）=0，∴ln（1+x）-x＜0
∴lnc_n=ln（1+nan）=ln(1+n2n)＜n2n
∴lnT_n＜12+222…+n2n
记A_n=12+222…+n2n①，则12A_n=122+223…+n-12n+n2n+1②
∴①-②可得12A_n=12+122+123…+12n-n2n+1=1-n+22n+1＜1
∴A_n＜2
∴lnT_n＜2
∴T_n＜e²＜9．

解析

x1+x

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列{an} 满足a2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。