已知数列{an}满足a1=2，an+1=22an，n∈N*．求数列{an}的通项；设bn=ann，求ni=1bi；设cn=nan，

题文

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2（1+1n）²an，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设b_n=ann，求n



i=1bi；
（3）设c_n=nan，求证n



i=1Ci＜1724． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知得，an+1(n+1)2=  2•ann2，
∴{ann2}是公比为2的等比数列，首项a₁=2，
∴ann2=2ⁿ，
∴a_n=n²2ⁿ；
（2）b_n=ann=n2ⁿ，
n





i=1bi=1•2+2•2²+3•2³+…+n2ⁿ，
2n





i=1bi=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）2ⁿ+n2ⁿ⁺¹，
∴-n





i=1bi=2+2²+2³+…+2ⁿ-n2ⁿ⁺¹=2(1-2n)1-2-n2ⁿ⁺¹
∴n





i=1bi=（n-1）2ⁿ⁺¹+2；
（3）c_n=nan=1n2n，
当n≥2时，1n2n=n-1n(n-1)2n＜ n+1n(n-1)2n=1(n-1)2n-1- 1n2n
∴c₁+c₂+c₃+…+c_n=12+18+124+…+1n2n
＜12+18+124+13•23-14•24…+1(n-1)2n-1-1n2n＜1724．

解析

an+1(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=2，an+1=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。