已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n∈N*)．求数列{an}的通项公式；求数列{n2an}的前n项和

题文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n∈N*)．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{n²a_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵a₁=1，a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n∈N*)．
∴a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=n2an，
∴na_n=n+12an+1-n2an，
∴an+1an=3nn+1，
在a₁=1，a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n∈N*)，
取n=1，得a₂=1，
∴a_n+1=a2×a3a2×a4a3×…×an+1an
=1×(3×23)×(3×34)×…×(3×nn+1)
=3n-1×2n+1，
∴an=1，n=13n-2•2n，n≥2．
（Ⅱ）∵an=1，n=13n-2•2n，n≥2．
∴n²a_n=1，n=12n•3n-2，n≥2，
∴T_n=1+4×3⁰+6×3+8×3²+…+2n•3^n-2，①
3T_n=3+4×3+6×3²+8×3³+…+2（n-1）•3^n-2+2n•3^n-1，②
①-②，得-2T_n=-2+4+2×（3+3²+3³+…+3^n-2）-2n×3^n-1
=2+2×3(1-3n-2)1-3-2n×3^n-1
=2+3^n-1-3-2n×3^n-1
=3^n-1-1-2n×3^n-1
∴T_n=12+n×3^n-1-3n-12．

解析

n+12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1，a1+2a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。