数列{an}中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1-an，n∈N*求数列{an}的通项公式；设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求S

题文

数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且满足a_n+2=2a_n+1-a_n，n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n；
（3）设bn=1n(12-an)(n∈N*)，Tn=b1+b2+…+bn(n∈N*)，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N^*，均有Tn＞m32成立？若存在，求出m的值：若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，an+2-a•n+1=an+1-an，∴{a_n}为等差数列，设公差为d，
由题意得2=8+3d⇒d=-2，∴a_n=8-2（n-1）=10-2n
（2）若10-2n≥0则n≤5，n≤5时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a1+a2+…+an=8+10-2n2×n=9n-n2
n≥6时，S_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇…-a_n=S₅-（S_n-S₅）=2S₅-S_n=n²-9n+40
故Sn=9n-n2n≤5n2-9n+40n≥6
（3）∵bn=1n(12-an)=12n(n+1)=12(1n-1n+1)∴Tn=12[(1-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n-1-1n)+(1n-1n+1)]=n2(n+1)
若Tn＞m32对任意n∈N*成立，即nn+1＞m16对任意n∈N*成立，∵nn+1(n∈N*)的最小值是12，∴m16＜12，∴m的最大整数值是7．
即存在最大整数m=7，使对任意n∈N*，均有Tn＞m32

解析

•n

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，a1=8，a4=2且满足.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。