已知数列{an}，其前n项和Sn满足Sn+1=2λSn+1，且a1=1，a3=4．求λ的值；求数列{an}的通项公式an；

题文

已知数列{a_n}，其前n项和S_n满足S_n+1=2λS_n+1（λ是大于0的常数），且a₁=1，a₃=4．
（1）求λ的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设数列{na_n}的前n项和为T_n，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由S_n+1=2λS_n+1得S₂=2λS₁+1=2λa₁+1=2λ+1，S₃=2λS₂+1=4λ²+2λ+1，∴a₃=S₃-S₂=4λ²，∵a₃=4，λ＞0，∴λ=1．（5分）
（2）由S_n+1=2S_n+1整理得S_n+1+1=2（S_n+1），
∴数列{S_n+1}是以S₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴S_n+1=2•2^n-1，∴S_n=2ⁿ-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（n≥2），
∵当n=1时a₁=1满足a_n=2^n-1，∴a_n=2^n-1．（10分）
（3）T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²++（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，①2T_n=1•2+2•2²++（n-2）•2^n-2+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，②
①-②得-T_n=1+2+2²++2^n-2+2^n-1-n•2ⁿ，
则T_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1．（14分）

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}，其前n项和Sn满足Sn.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。