数列{an}满足a1=1，an+1=2n+1anan+2n．证明：数列{2nan}是等差数列；求数列{an}的通项公式an；设bn

题文

数列{a_n}满足a₁=1，an+1=2n+1anan+2n（n∈N₊）．
（Ⅰ）证明：数列{2nan}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设b_n=n（n+1）a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：由已知可得an+12n+1=anan+2n，
即2n+1an+1=2nan+1，
即2n+1an+1-2nan=1
∴数列{2nan}是公差为1的等差数列（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2nan=2a1+(n-1)×1=n+1，
∴an=2nn+1（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知b_n=n•2ⁿ
S_n=1•2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ
2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹（10分）
相减得：-Sn=2+22+23++2n-n•2n+1=2(1-2n)1-2-n•2n+1=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹（12分）
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2

解析

an+12n+1

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足a1=1，an+1=2n.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。