在数列{an}中，a1=1，an+1=an+n+12n．设bn=ann，求数列{bn}的通项公式；求数列{an}的前n项和Sn．

题文

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（1+1n）a_n+n+12n．
（1）设b_n=ann，求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知得b₁=a₁=1，且an+1n+1=ann+12n，
即b_n+1=b_n+12n，从而b₂=b₁+12，
b₃=b₂+122，
b_n=b_n-1+12n-1（n≥2）．
于是b_n=b₁+12+122+…+12n-1=2-12n-1（n≥2）．
又b₁=1，
故所求的通项公式为b_n=2-12n-1．
（2）由（1）知a_n=2n-n2n-1，
故S_n=（2+4++2n）-（1+22+322+423+…+n2n-1），
设T_n=1+221+322+423+…+n2n-1，①
12T_n=12+222+323+…+n-12n-1+n2n，②
①-②得，
12T_n=1+12+122+123+…+12n-1-n2n
=1-12n1-12-n2n=2-22n-n2n，
∴T_n=4-n+22n-1．
∴S_n=n（n+1）+n+22n-1-4．

解析

an+1n+1

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=1，an+1=（.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。