某产品在不做广告宣传且每千克获利a元的前提下，可卖出b千克．若做广告宣传，广告费为n千元时比广告费为千元时多卖出b2n千克，．记广告费为n

题文

某产品在不做广告宣传且每千克获利a元的前提下，可卖出b千克．若做广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出b2n千克，（n∈N^*）．记广告费为n千元时，卖出产品数量为S_n千克．
（1）求S₁，S₂；
（2）求S_n；
（3）当a=50，b=200时厂家应生产多少千克这种产品，做几千元广告，才能获利最大？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当广告费为1千元时，销售量s1=b+12b=3b2        （2分）
当广告费为2千元时，销售量s2=3b2+b4=7b4     （4分）
（2）设s₀表示广告费为0千元时的销售量，即s₀=b
由题意得s1-s0=12b
s2-s1=b22
…
s_n-s_n-1=b2n，（6分）
以上n个等式相加得sn-s0=b2+b22+…+b2n （7分）
即有Sn=b+b2+…+b2n=b(1-12n+1)1-12=b(2-12n)（9分）
（3）当a=50，b=200时，设获利为T_n，则有T_n=as_n-1000n=50×200(2-12n)-1000n=10000（2-12n）-1000n（11分）
欲使T_n最大，则Tn≥Tn+1Tn≥Tn-1，
则20000-100002n-1000n≥20000-100002n+1-1000(n+1)20000-100002n-1000n≥20000-100002n-1-1000(n-1)
解可得n＞2n＜4，故n=3．（13分）
当n=3时，s₃=375，即厂家应生产350千克产品，做3千元的广告，能获利最大．（14分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“某产品在不做广告宣传且每千克获利a元的前.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。