已知数列{an}的首项a1=35，an+1=3an2an+1，其中n∈N+．求证：数列{1an-1}为等比数列；记Sn=1a1+1a2+…+1an，

题文

已知数列{a_n}的首项a₁=35，an+1=3an2an+1，其中n∈N₊．
（Ⅰ）求证：数列{1an-1}为等比数列；
（Ⅱ）记S_n=1a1+1a2+…+1an，若S_n＜100，求最大的正整数n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：∵1an+1=23+13an，∴1an+1-1=13an-13，
∵1a1-≠0，∴1an-1≠0(n∈N₊），
∴数列{1an-1}为等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得1an-1=23×(13)n-1，∴1an=2×(13)n+1
Sn=1a1+1a2+…+1an=n+2×(13+132+…+13n)=n+2•13-13n+11-13=n+1-13n，
若S_n＜100，则n+1-13n＜100，
∴n_max=99．

解析

1an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的首项a1=35，an+.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。