数列{an}中，a1=1，a2=23，且1an-1+1an+1=2an．求an；设bn=anan+1，求b1+b2+b3+…bn；求证：a12

题文

数列{a_n}中，a₁=1，a₂=23，且1an-1+1an+1=2an．
（1）求a_n；
（2）设b_n=a_na_n+1，求b₁+b₂+b₃+…b_n；
（3）求证：a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²＜4 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题意知{1an}为等差数列，公差d=1a2-1a1=12，
∴1an=1+12(n-1)，∴an=2n+1．
（2）bn=anan+1=4(n+1)(n+2)4(1n+1-1n+2)，
∴b₁+b₂+…+b_n=4[(12-13)+(13-14)+…+(1n+1-1n+2)]=4(12-1n+2) =2nn+2．
（3）an2=4(n+1)2＜4n(n+1)=4（1n+1-1n+2），
∴a₁²+a₂²+…+a_n²＜4[(1-12) +(12-13)+…+(1n+1-1n+2)]=4（1-1n+1）＜4．

解析

1an

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，a1=1，a2=23，且.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。