在数列{an}中，a1=-13，n∈N*，当n≥2时，有3an-2an-1+n+2=0，设bn=an+n+1．求b1，b2；证明数列{bn-1}是

题文

在数列{a_n}中，a1=-13，n∈N*，当n≥2时，有3a_n-2a_n-1+n+2=0，设b_n=a_n+n+1．
（I）求b₁，b₂；
（II）证明数列{b_n-1}是等比数列；
（III）设cn=(23)n2b2n+bn，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵a1=-13，b_n=a_n+n+1∴b1=a1+2=53
当n=2时，3a₂-2a₁+4=0可得a2=-149
∴b2=3+a2=139
（II）由3a_n-2a_n-1+n+2=0得，3（a_n+n）=2（a_n-1+n-1）
an+nan-1+n-1=23，n≥2即bn-1bn-1-1=23
∵b1- 1=23≠0
∴{bn-1}是以23为首项，23为公比的等比数列
（III）由（I）可得bn=23bn-1+13
∴2b_n-1+1=3b_n，所以bn=1+(23)n
cn=(23)n2b2n+bn=(23)n(2bn+1)bn=bn-bn+1bnbn+1=1bn+1-1bn
Tn=C1+C2+…+Cn=1bn+1-1b1=3n+12n+1+ 3n+1-35

解析

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考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=-13，n∈N*.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。