在平面直角坐标系中，已知An、Bn、Cn，满足向量AnAn+1与向量BnCn共线，且点Bn（n∈N

题文

在平面直角坐标系中，已知A_n（n，a_n）、B_n（n，b_n）、C_n（n-1，0）（n∈N^*），满足向量AnAn+1与向量BnCn共线，且点B_n（n，b_n）（n∈N^*）都在斜率为6的同一条直线上，若a₁=6，b₁=12．求：
（1）数列{a_n}的通项a_n；
（2）数列{1an}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵点B_n（n，b_n）（n∈N*）都在斜率为6的同一条直线上，
∴bn+1-bn(n+1)-n=6，
即b_n+1-b_n=6，
于是数列{b_n}是等差数列，
故b_n=12+6（n-1）=6n+6．
∵AnAn+1=(1，an+1-an)，BnCn=(-1，-bn)，又AnAn+1与BnCn共线．
∴1×（-b_n）-（-1）（a_n+1-a_n）=0，
即a_n+1-a_n=bn
∴当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+b₃+…+b_n-1
=a₁+b₁（n-1）+3（n-1）（n-2）=3n（n+1）
当n=1时，上式也成立．
所以a_n═3n（n+1）．
（2）1an=13(1n-1n+1)，
Tn=13(1-12+12-13+…+1n-1n+1)
=13(1-1n+1)=n3n+3．

解析

bn+1-bn(n+1)-n

考点

据考高分专家说，试题“在平面直角坐标系中，已知An（n，an）.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。