已知数列{an}中，a1=56，若以a1，a2，…，an为系数的二次方程an-1x2-anx+1=0都有根α，β且3α-αβ+3β=1，则{

题文

已知数列{a_n}中，a1=56，若以a₁，a₂，…，a_n为系数的二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0（n∈N⁺，n≥2）都有根α，β且3α-αβ+3β=1，则{a_n}的前n项和S_n=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意，∵α+β=anan-1，αβ=1an-1代入3α-αβ+3β=1得a_n=13a_n-1+13，
∴an-12an-1-12=13an-1+13-12an-1-12=13为定值．
∴数列{a_n-12}是等比数列．
∵a₁-12=56-12=13，
∴a_n-12=13×（ 13）^n-1=（ 13）ⁿ．
∴a_n=（ 13）ⁿ+12．
∴S_n=（ 13+132++13n）+n2=13(1-13n)1-13+n2=n+12-12×3n．
故答案为：Sn=n+12-12×3n

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=56，若以a1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。