已知数列{an}满足递推式：an-an-1=2n-1，且a1=1．求a2，a3；求an；若bn=nan，求

题文

（文科做）已知数列{a_n}满足递推式：a_n-a_n-1=2n-1，（n≥2，n∈N）且a₁=1．
（1）求a₂，a₃；        
（2）求a_n；       
（3）若b_n=（-1）ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项之和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₂-a₁=2×1+1=3，
∴a₂=4，
又a₃-a₁=2×2+1=5，
∴a₃=9．
（2）由a_n-a_n-1=2n-1，
知a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=1+3+5+…+（2n-1）=n²．
（3）∵bn=(-1)n•(n+1)n+n(n-1)2
=(-1)n•(n+1)n2-(-1)n-1n(n-1)2．
记f(n)=(-1)n(n+1)n2，
则b_n=f（n）-f（n-1）（n≥2），
又b₁=f（1），
∴T_n=（f（n）-f（n-1））+…+（f（2）-f（1））+f（1）
=(-1)n(n+1)n2-(-1)12(2-1)2+f(1)
=(-1)n(n+1)n2，
∴Tn=(-1)n•(n+1)n2．

解析

(n+1)n+n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“（文科做）已知数列{an}满足递推式：a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。