已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．求数列{an}和{bn}的通项公式；数列

题文

已知数列{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，b₄=54，a₁+a₂+a₃=b₂+b₃．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q
由b4=b1q3=54，得q3=542=27，从而q=3
因此bn=b1 • qn-1=2 • 3n-1（3分）
又a₁+a₂+a₃=3a₂=b₂+b₃=6+18=24，∴a₂=8
从而d=a₂-a₁=6，故a_n=a₁+（n-1）•6=6n-4（6分）
（2）cn=anbn=4 • (3n-2) • 3n-1
令Tn=1×30+4×31+7×32+…+(3n-5) • 3n-2+(3n-2) • 3n-1
3Tn=1×31+4×32+7×33+…+(3n-5) • 3n-1+(3n-2) • 3n（9分）
两式相减得-2Tn=1+3×31+3×32+3×33+…+3×3n-1-(3n-2) • 3n
=1+3 • 3 • (3n-1-1)3-1-（3n-2）•3ⁿ=1+9(3n-1-1)2-(3n-2) • 3n
∴Tn=74+3n(6n-7)4，又Sn=4Tn=7+(6n-7) • 3n（12分）．

解析

542

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是等差数列，{bn}是等.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。