已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，有Sn，a2(a-1)an，n成等差数列，令bn=lg．求数

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，有S_n，a2(a-1)an，n（a≠0，a≠1）成等差数列，令b_n=（a_n+1）lg（a_n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n（用a，n表示）
（2）当a=89时，数列{b_n}是否存在最小项，若有，请求出第几项最小；若无，请说明理由；
（3）若{b_n}是一个单调递增数列，请求出a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意aa-1an=Sn+n①
∴aa-1an+1=Sn+1+n+1②
②-①得1a-1an+1=aa-1an+1，
即a_n+1+1=a（a_n+1），{a_n+1}是以a为公比的等比数列．∴a_n+1=（a₁+1）a^n-1
又由aa-1a1=a1+1⇒a₁=a-1∴a_n=aⁿ-1
（2）a=89时，bn=n(89)nlg89，bn+1-bn=8-n9•(89)n•lg89
当n＜8时，b_n+1-b_n＜0即b_n+1＜b_n，∴b₁＞b₂＞＞b₈
当n=8时，b_n+1-b_n=0即b_n+1=b&_n，b₈=b₉
当n＞8时，b_n+1-b_n＞0即b_n+1＞b_n∴b₉＜b₁₀＜
存在最小项且第8项和第9项最小
（3）由b_n+1＞b_n得b_n+1-b_n=（n+1）aⁿ⁺¹lga-naⁿlga=aⁿ[（n+1）a-n]lga＞0
当a＞1时，得（n+1）a-n＞0，即a＞nn+1，显然恒成立，∴a＞1
当0＜a＜1时，lga＜0，∴（n+1）a-n＜0即a＜nn+1，∴a＜12，∴0＜a＜12
综上，a的取值范围为(0，12)∪(1，+∞)．

解析

aa-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。