数列{an}的前n项和Sn=nan，并且a1=13，求数列{an}的通项公式．判断前n项和Sn组成的新数列{Sn}的单调性，并给出相应的

题文

数列{a_n}的前n项和S_n=n（2n-1）a_n，并且a1=13，
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）判断前n项和S_n组成的新数列{S_n}的单调性，并给出相应的证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（2n-1）a_n-（n-1）（2n-3）a_n-1，得anan-1=2n-32n+1∴a2a1a3a2a4a3a5a4…an-1an-2anan-1=15×37×59×711…2n-52n-1×2n-32n+1
又a1=13得an=1(2n-1)(2n+1)
（2）因为S_n=n（2n-1）a_n=n2n+1，Sn+1-Sn=n+12n+3-n2n+1=1(2n+1)(2n+3)＞0对于任意的正整数都成立，所以S_n+1＞S_n，即前n项和S_n组成的新数列{S_n}为递增数列．

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和Sn=n（2n-1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。