在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn=12(an+1an)求a1，a2，a3；由结果猜想出数列{an}的通项公式

题文

在各项为正的数列{a_n}中，数列的前n项和S_n满足Sn=12(an+1an)
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）由（1）结果猜想出数列{a_n}的通项公式（不用证明）；
（3）求S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由Sn=12(an+1an)(n∈N*)，
令n=1得a1=12(a1+1a1)⇒a₁=1，
令n=2得a1+a2=12(a2+1a2)⇒a2=2-1，
令n=3得a1+a2+a3=12(a3+1a3)⇒a3=3-2，
同样地，可求得a4=4-3．
故a₁=1，a2=2-1，a3=3-2，a4=4-3…（6分）
（2）根据（1）猜想：an=n-n-1(n∈N*)…（10分）
（3）由（2）可得：
S_n=a₁+a₂+…+a_n=1+2-1+3-2+…+n-n-1=n(n∈N*)…（14分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“在各项为正的数列{an}中，数列的前n项.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。