已知数列{an}中，a1=1，且满足an+1=3an+1，n∈N，求数列{an}的通项公式an前n项和Sn．

题文

已知数列{a_n}中，a₁=1，且满足a_n+1=3a_n+1，n∈N，求数列{a_n}的
（1）通项公式a_n   
（2）前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a_n+1=3a_n+1得，a_n+1+12=3（a_n+12），
又a₁+12=1+12=32，所以数列{a_n+12}各项不为0，
所以数列{a_n+12}是以32为首项、3为公比的等比数列，
所以a_n+12=32•3n-1=12•3n，
所以an=12(3n-1)；
（2）由（1）得
S_n=a₁+a₂+…+a_n
=12（3-1）+12(32-1)+…+12（3ⁿ-1）
=12[（3+3²+…+3ⁿ）-n]
=12•3(1-3n)1-3-12n
=14•3n+1-12n-34．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1，且满足an.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。