已知{an}是首项为a1=1的等差数列且满足an+1＞an，等比数列{bn}的前三项分别为b1=a1+1，b2=a2+1，b3=a3+3．求数

题文

已知{a_n}是首项为a₁=1的等差数列且满足a_n+1＞a_n（n∈N^*），等比数列{b_n}的前三项分别为b₁=a₁+1，b₂=a₂+1，b₃=a₃+3．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足（a_n+3）c_nlog₂b_n=12，求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
首项a₁=1，b₁=2，b₂=2+d，b₃=4+2d，
∵{b_n}为等比数列，∴b22=b1b3，
即（2+d）²=2（4+2d），解得d=±2，
又∵a_n+1＞a_n，即数列{a_n}为单调递增数列，
∴d=2，a₂=3，a₃=5，∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
则b₁=2，b₂=4，q=2，
∴bn=b1qn-1=2n，
∴a_n=2n-1，bn=2n，
（Ⅱ）由题意得，(an+3)cnlog2bn=12，再由（1）结果代入，
变形得cn=12(an+3)log2bn=12n(2n+2)=12(12n-12n+2)，
∴S_n=12(12-14)+12(14-16)+12(16-18)+…+12(12n-12n+2)
=12(12-12n+2)=n4(n+1)．

解析

b22

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是首项为a1=1的等差数列且.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。