数列{an}中，a1=3，Sn为其前n项的和，满足Sn=Sn-1+an-1+2n-1，令bn=1anan+1写出数列{an}的前四项，并求数列{

题文

数列{a_n}中，a₁=3，S_n为其前n项的和，满足S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-1（n≥2），令bn=1anan+1
（1）写出数列{a_n}的前四项，并求数列{a_n}的通项公式
（2）若f（x）=2^x-1，求和：b₁f（1）+b₂f•（2）+…+b_nf（n）
（3）设cn=nan，求证：数列{c_n}的前n项和Q_n＜2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）数列的前四项：a₁=3，a₂=5，a₃=9，a₄=17（2分）
S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-1（n≥2）⇒a_n=a_n-1+2^n-1（n≥2）（3分）
当n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+•+（a₂-a₁）+a₁=2^n-1••+2^n-2++2²+2•+3=2ⁿ+1
经验证a1也符合，所以a_n=2ⁿ．+1（5分）
（2）bnf(n)=2n-1(2n+1)(2n+1+1)=12(12n+1-12n+1+1)，（7分）
∴b₁f（1）+b₂f（•2）+…+b_nf（n）=12(12+1-122+1)+12(122+1-123+1)+12(123+1-124+1)+…+12(12n+1-12n+1+1)=12(12+1-12n+1+1)=16-12n+2+2（9分）
（3）由cn=n2n-1＜n2n
得Qn=12+1+122+1+…+12n+1＜12+222+…+n2n（11分）
令Tn=12+222+323+…+n2n
则12Tn=122+223+324+…+n2n+1，
相减，得12Tn=12+122+123+…+12n-n2n+1=12×(1-12n)1-12-n2n+1=1-12n-n2n+1
所以Tn=2-n+22n
所以Qn＜12+223+…+n2n=2-n+22n＜2（14分）

解析

2n-1(2n+1)(2n+1+1)

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，a1=3，Sn为其前n项.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。