题文
已知正实数a，b，c成等差数列，且a+b+c=15．（I）求b的值；
（II）若a+1，b+1，c+4成等比数列；
（i）求a，c的值；
（ii）若a，b，c为等差数列{an}的前三项，求数列{an•xn-1}(x≠0)的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）由题意，得a+b+c=15 (1)a+c=2b (2)由（1）（2）两式，解得b=5（4分）
（II）（i）因为a+1，b+1，c+4成等比数列，
所以（a+1）（c+4）=（b+1）2（3）
由（2）式，得c=10-a代入（3），整理得a2-13a+22=0
解得a=2或a=11
故a=2，c=8或a=11，c=-1（舍）
所以a=2，c=8（8分）
（ii）因为a，b，c为等差数列{an}的前三项，
所以an=3n-1(n∈N*)
当x=1时，数列{an•xn-1}的前n项Sn=2+5+8+…+3n-1=n(3n+1)2
当x≠1时，数列{an•xn-1}的前n项Sn=2+5x+8x2+…+(3n-1)xn-1①xSn=2x+5x2+8x3+…+(3n-4)xn-1+(3n-1)xn②
①-②：(1-x)Sn=2+3x+3x2+3x3+…+3xn-1-(3n-1)xn=2+3x(1-xn-1)1-x-(3n-1)xn
所以Sn=2+x-(3n+2)xn+(3n-1)xn+1(1-x)2（12分）
解析
a+b+c=15 (1)a+c=2b (2)考点
据考高分专家说，试题“已知正实数a，b，c成等差数列，且a+b.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
