在数列{an}中，a1=1，数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1-Sn=0．求a2；求an；若bn=2，Tn

题文

在数列{a_n}中，a₁=1，数列{a_n}的前n项和S_n满足nS_n+1-（n+3）S_n=0．
（Ⅰ）求a₂；
（Ⅱ）求a_n；
（Ⅲ）若b_n=（n+1）²（n∈N），T_n=（-1）^a₁b₁+（-1）^a₂b₂+…+（-1）^a_nb_n，n∈N，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）S₁=4，∴a₂=3．
  （Ⅱ）∵nS_n+1=（n+3）S_n…①∴当n≥2时，有（n-1）S_n=（n+2）S_n-1…②
①-②有na_n+1=（n+2）a_n（n≥2），
∴2a3=4a₂，3a₄=5a₃，…（n-1）a_n=（n+1）a_n+1（n≥3）
将以上各式左右两端分别相乘，得（n-1）a_n=(n+1)!6a₂，，∴a_n=n(n+1)2，n≥3，
当n=1，2时也成立，∴a_n=n(n+1)2（n∈N⁺）．
   （Ⅲ）∵b_n=（n+1）²（n∈N），∴T_n=（-1）^a₁b₁+（-1）^a₂b₂+…+（-1）^a_nb_n=-2²-3²+…+(-1)n(n+1)2（n+1）²，
当n=4k，k∈N⁺时，T_n=-2²-3²+4²+5²+…-（4k-2）²-（4k-1）²+（4k）²+（4k+1）²
∵-（4k-2）²-（4k-1）²+（4k）²+（4k+1）²=32k-4
∴T_n=32（1+2+3+…+k）-4k=（4k）²+12k=n²+3n
当，k∈N⁺时，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²=4k-1=n
当，k∈N⁺时，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²-（4k）²=4k-1-（4k）²=-n²-3n-3
当n=4k-3，k∈N⁺时，，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²+（4k-1）²=-4k=-n-3
∴T_n=-n-3             n=4k-3-n2-3n-3       n=4k-2n                   n=4k-1n2+3n           n=4k

解析

(n+1)!6

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=1，数列{an}.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。