数列{an}的通项公式为an=1(n+1)2，设f=…．求f、f、f、

题文

数列{a_n}的通项公式为a_n=1(n+1)2（n∈N^*），设f（n）=（1-a₁）（1-a₂）（1-a₃）…（1-a_n）．
（1）求f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值；
（2）求f（n）的表达式；
（3）数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=2f（n）-1，它的前n项和为g（n），求证：当n∈N^*时，g（2ⁿ）-n2≥1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（1）=34，f（2）=23，f（3）=58，f（4）=35．
（2）由f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）
得：f（n-1）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n-1）（n＞1），
两式相除得：
f(n)f(n-1)=1-a_n=1-1(n+1)2=n(n+2)(n+1)2（n＞1）．
∴f(n)f(n-1)f(n-1)f(n-2)…f(2)f(1)=n(n+2)(n+1)2(n-1)(n+1)n2n(n-2)(n-1)2…2×432，
f(n)f(1)=n(n-1)(n-2)…2(n+1)n…3•(n+2)(n+1)…4(n+1)n…3=2n+1•n+23，
∴f（n）=n+22(n+1)（n＞1），又f（1）=34适合此式，
∴f（n）=n+22(n+1)．
（3）b _n+1=2f（n）-1=1n+1，
g（n）=1+12+13+…+1n，
∴g（2ⁿ）=1+12+13+…+12n．
设∅（n）=f（2ⁿ）-n2，
则∅（n）=1+12+13+…+12n-n2．
∅（n+1）-∅（n）=1+12+13+…+12n+1-n+12-（1+12+13+…+12n-n2）
=12n+1+12n+2+…+12n+1-12．
∵12n+1+12n+2+…+12n+1的项数为2ⁿ，
∴12n+1+12n+2+…+12n+1＞12n+1+12n+1+…+12n+1=12n+1×2n=12，
∴∅（n+1）-∅（n）＞0．即数列{∅（n）}是单调递增数列．
其最小值为∅（1）=g（2）-12=1
∴∅（n）≥1即g（2ⁿ）-n2≥1．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的通项公式为an=1(n+1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。