数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1=2Sn+n+1，n∈N．求数列{an}的通项公式；若bn=nan+1-an，设数列{bn}的前n

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n+1=2S_n+n+1，n∈N．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=nan+1-an，设数列{b_n}的前n项和为T_n，n∈N^*，试判断T_n与2的关系，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵a₁=1，S_n+1=2S_n+n+1，
∴S_n+1+（n+1）+2=2（S_n+n+2），
并且S₁+1+2=1+1+2=4，数列{S_n+n+1}组成一个以4为首项，2为公比的等比数列，
∴S_n+n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
S_n=2ⁿ⁺¹-n-2．
∴a₁=S₁=2²-1-2=1，
a_n=S_n-S_n-1
=（2ⁿ⁺¹-n-2）-（2ⁿ-n-1）=2ⁿ-1，
当n=1时，2ⁿ-1=1=a₁，
∴a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）∵a_n=2ⁿ-1，
∴bn =nan+1-an=n2 n+1-2n=n2n，
∴Tn=1×12+2×12 2+…+n×12 n，①
12Tn=1×12 2+2×12  3+…+n×12 n+1，②
①-②，得12Tn=12+ 12 2+12 3+…+12 n-n×12 n+1
=12(1-12 n)1-12-n×12 n+1
=1-12 n-n2 n+1，
∴Tn=2-(2+n)(12)n
∴T_n＜2．

解析

nan+1-an

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。